圖2-1  質量守恒的微元體

將質量守恒定律應用到高溫流體流動中（如圖2-1）所示，即得連續性方程：

在不穩(wen)定流(liu)(liu)動時(shi)，流(liu)(liu)入的(de)流(liu)(liu)體(ti)質(zhi)量與流(liu)(liu)出的(de)流(liu)(liu)體(ti)質(zhi)量之差應(ying)等(deng)(deng)于(yu)封(feng)閉空(kong)間中(zhong)流(liu)(liu)體(ti)質(zhi)量的(de)變化；而在穩(wen)定流(liu)(liu)動時(shi)則流(liu)(liu)入流(liu)(liu)體(ti)質(zhi)量必然等(deng)(deng)于(yu)流(liu)(liu)出的(de)流(liu)(liu)體(ti)質(zhi)量，其數(shu)學表達式即為連續性方程。在直角坐標(biao)系中(zhong)

不穩定流(liu)動(dong)時

（2-1）

穩定流動時，則

對于不可壓縮流體，ρ=const，則連續性方程為

用ρu的散度divpu或 pu表示上式左邊的三項之和則，

div u=▽·u=0

在柱坐標系(xi)中

不穩定流動(dong)時

（2-2）

穩定流動時

（2-2a）

對于不可壓縮流體，ρ=const，則連續性方程為

（2-2b）

直角坐(zuo)標(biao)和柱坐(zuo)標(biao)之間的(de)換(huan)算公式如(ru)下：

（2-3）

連續性方程(cheng)表示(shi)了流體運動時，其速度(du)與密(mi)度(du)之(zhi)間的關系。

二、能量(liang)方程

根據能量守恒定律、加到流體中的熱能q和壓力所作的功之和，等于流體對外所作的機械功W、克服摩擦所消耗的功Wf以及動(dong)能，位能（gZ2-gZ1）和內能增量cu（T2-T1）之和。能量方程的數學表達式則為

（2-4）

其微(wei)分形式為

（2-4a）

式中(zhong)，而

兩者之和為（i2-i1）

三、粘性流體運動方程

根據牛頓第二定律，考慮到流體的粘性剪切力即可得不可壓縮粘性流體運動微分方程式，該式又稱為納維—斯托克斯方程，簡稱N-S方程，這是流體動力學基本方程之一，在直角坐標系中表示為（見圖2-2）。

（2-5）

方程(cheng)組中左邊*項(xiang)為(wei)(wei)(wei)單位(wei)質量(liang)力(li)(li)；左邊第(di)二項(xiang)為(wei)(wei)(wei)壓(ya)力(li)(li)，第(di)三項(xiang)為(wei)(wei)(wei)摩擦力(li)(li)，合稱為(wei)(wei)(wei)表面力(li)(li)；右邊為(wei)(wei)(wei)慣性(xing)力(li)(li)。

在柱坐標系中(zhong)則表示為

（2-）

圖2-2  粘性流體運動分析

式中一直角(jiao)坐標拉(la)普拉(la)斯算子

一柱坐(zuo)標用拉普拉斯算子；

一歐拉系(xi)數。

對于可壓縮流體，考慮氣體的可壓縮性、N-S方程具有下列形式：對于直角坐標為

（2-6）

對于柱坐標系(xi)則表示為(wei)：

（2-6a）

N-S方程是粘性流體zui一般性的方程。加上連續性方程共有四個方程式，當邊界條件和初始條件確定后，原則上可求解不可壓縮粘性流體運動問題中的四個未知數ux、uy、uz和p。許多層流問題，如園管層流、平行平面間層流、同心園環間層流都可以用N-S方程求出解，而且流體潤滑問題也可用N-S方程求近似解。